如何使用苏黎世仪器锁相放大器用Pound Drever Hall方法表征谐振腔
引自：Jim Phillips
本博客讨论了测量频率波动和质量因子的方法，𝑄, 谐振器。谐振器是以明确定义的频率自然振荡的物理系统。在这个谐振频率下，能量在两种形式之间周期性地交换，例如，在扫描探针显微镜的悬臂中的动能和弹簧能，或者在微波谐振器中的电场和磁场。谐振频率的变化可以是影响谐振器的物理参数的极其敏感的指标，例如SPM悬臂的环境或光学腔的长度。除了谐振频率𝑓0，另一个重要的量是共振的锐度，通常由质量因子参数化𝑄=𝑓0/𝐹𝑊𝐻𝑀, 𝐹𝑊𝐻𝑀 是最大值一半处的谐振全宽或线宽。谐振器被广泛使用，因为它们通过一个因子来增强信号强度𝑄.此外，对于给定的谐振频率，较高的品质因数意味着较窄的线宽，使谐振器对感兴趣的物理量更敏感。
谐振器可实现的极高灵敏度用于许多应用，包括扫描探针显微镜、陀螺仪和量子计算。我们在这里关注的是量子技术中使用的超导谐振器的情况，但这些技术可以应用于许多其他领域。在超导量子计算电路中，量子位通常是谐振频率在4-8GHz范围内的毫米级超导谐振器的一部分。量子位通常在相同的频率范围内耦合到读出谐振器。读出谐振器的一个线宽量级的频率偏移指示量子位的量子态的变化。损耗机制增加了噪声并降低了谐振腔的测量难度𝑄. 测量和理解超导微波谐振器中的损耗机制将有助于我们提高量子信息技术中超导量子电路的寿命。
在开发此类谐振器的制造工艺时，测量频率波动和𝑄 未耦合到量子位的隔离谐振器（图1）。测量纯谐振器比测量量子位更简单，并且可以排除量子位非线性引起的混杂因素。为了探测量子测量中重要的噪声机制，测量需要扩展到极低的功率，谐振器中微波光子的平均数量约为10-2。谐振器可以在这样的功率范围内平稳地操作；量子位不能是[1，2]
表征谐振器的最常见方法是执行频率扫描，传统上使用矢量网络分析仪（VNA）。然而，扫频并拟合测量曲线以估计中心频率和𝑄 需要时间并且该过程可能是繁琐的，
图1。谐振器频率波动的测量。波动的量是谐振器的中心频率，𝑓0。波动相对于平均值的平方被称为“幂”，其大小为Hz2。波动本身有一个频率，我们经常研究波动在频谱上的分布。功率谱密度（PSD）的单位为Hz2/Hz。绘制了根功率谱密度，单位为Hz/√Hz。
相比之下，Pound Drever Hall（PDH）方法只需要在单个频率下进行测量。它更快，尽管对于最先进的VNA来说，PDH可能只快一小部分。当频移小时，PDH信号与频移线性相关，因此与VNA不同，PDH提供实时反馈信号。此外，我们为PDH推荐的苏黎世仪器数字锁相放大器既用于生成FM信号，也用于反馈，以保持振荡器频率以谐振器为中心，这些功能通常不包括在VNA中。
其他测量方法包括衰荡光谱、锁相环（PLL）和双频共振跟踪（DFRT）。这些都可以通过苏黎世仪器公司的锁相放大器来完成。然而，与PDH相比，衰荡光谱较慢，PLL对相位噪声更敏感，并且DFRT具有较低的带宽。因此，我们专注于PDH。
Pound Drever Hall感应
PDH是测量谐振器频率波动的理想选择𝑄. 几十年来，它一直被用于以最高精度锁定微波和光学振荡器，包括获得多项诺贝尔奖的工作。它是以微波和光学领域精密测量的先驱命名的。在谐振器中，它测量快速的中心频率波动。它还可以 直接地测量𝑄
PDH信号的基础
谐振器中心频率，𝑓0，响应于感兴趣的噪声过程而波动，并且我们希望使我们的振荡器频率，𝑓, 跟随这些波动。
然后，波动𝑓 易于记录并形成波动的记录𝑓0。制作𝑓 跟随𝑓0，我们使用反馈循环。对于反馈回路，我们需要频率偏移的测量，𝑓−𝑓0.
图2:PDH框图
反馈回路的各部分如下所示，标记为A、B、C…，与图2中的字母相对应。
A.谐振器中心频率为𝑓其通常为4-8GHz。
B.振荡器频率为𝑓, 由Osc1产生。𝑓 应该匹配𝑓0.
C.我们需要一个信号𝑓 利用调制频率的正弦频率调制（FM），𝑓𝑚. 在这里𝑓𝑚 = 50 MHz（尽管，在具有𝑄~500000，线宽约为10kHz，我们可以选择𝑓𝑚 = 100kHz。信号的傅立叶频谱的载波位于𝑓 和边带𝑓 ± 𝑝 𝑓𝑚 具有𝑝 = 1,2,… . 在实践中仅提供第一上边带和第一下边带就足够了，𝑝 = 1.锁定放大器通过将来自Osc1、Osc2和Osc3的信号相加来提供FM信号。
D.如此制备的复合信号在混频器中被转换成模拟信号并上变频到6GHz。由于C中描述的加法是数字的，所以转换后的模拟信号可以覆盖宽范围的功率电平。这对于测试低至单量子水平的损耗机制是必要的。
E.因此，我们有一个纯调频信号，如图所示。
F.调频信号与A处的谐振器相互作用。当𝑓 ≠ 𝑓0时，一些FM被转换为调幅（AM）。这个AM构成了我们衡量的基础𝑓 − 𝑓0.
G.我们需要去除微波，只测量振幅。为此，信号通过功率检测器，如二极管和低通滤波器。这给了我们AM作为一个信号𝑓𝑚. 当反馈有效并且𝑓 非常接近𝑓0，这个信号非常小。PID控制器本身使用直流输入信号。通过像我们在这里所做的那样将PID控制器与锁定放大器集成，它获得了将这个非常小的AC信号作为输入的能力。
H.锁定放大器提供了一个解调器，用于获取G处的微小交流信号，并将其转换为微小但精确的直流信号。由于该信号是数字的，所以通常与DC信号相关联的误差不会出现。
I.在没有反馈回路运行的情况下，我们可以扫描振荡器的频率𝑓 围绕𝑓0来研究PID控制器的输入，即“误差信号”。所示为典型的PDH误差信号。我们将在红色椭圆的中心工作。对于的小偏差𝑓 从…起𝑓0，在椭圆的中心，解调的PDH信号与频率偏离成线性比例。
J.PID环路滤波器根据滤波器的P和I系数对PDH误差信号进行滤波和缩放以形成控制信号。这些设置了PDH反馈环路带宽，通常范围从几Hz到几kHz。环路滤波器控制频率，𝑓, 调频信号的“载波”（中心音）。当它调谐载波以跟随𝑓0，锁定放大器的MOD单元将由Osc2和Osc3产生的上边带和下边带信号保持为𝑓𝑚 从承运人。载波和边带形成上述C中描述的可调谐信号。这就完成了反馈循环。
K.另一个解调器工作在2𝑓𝑚 提供了一个衡量标准𝑄, 下文将对此进行讨论。
为了对振荡器信号进行频率调制，我们可以使用外部模拟频率调制器。然而，在大功率范围内工作需要经常重新校准。相反，我们只需使用苏黎世仪器公司的MOD选项，该选项利用振荡器Osc2和Osc3（图中的C）在𝑓 − 𝑓𝑚, 和𝑓 + 𝑓𝑚.
在PDH循环锁定的情况下，我们记录𝑓(𝑡) 作为谐振器频率波动的直接测量。该量的傅立叶变换和Allan Deviation是谐振器损耗机制的关键指标，不同的损耗机制出现在不同的频率或平均时间范围内。这些研究可以作为载波功率的函数来进行。在与谐振器中的0.01个微波光子相对应的功率下，揭示了两级系统（TLS）损耗机制对损耗的全部贡献。
确定质量因数Q
当PDH回路被锁定并且𝑓 = 𝑓0，AM信号在𝑓𝑚 为零。但是，在2处有一个强AM信号𝑓𝑚. 信号在2处解调𝑓𝑚, “二阶信号”（图2中的K）提供了𝑄. 它是针对𝑓𝑚 如图3[3]所示。对于的值𝑓𝑚 在谐振器线宽附近，𝑓0/𝑄, 这个二阶信号提供了一个测量𝑄. 确定𝑄, 一个先变化𝑓𝑚, 找到一个像图中那样的依赖关系。然后只测量一个值𝑓𝑚, 近的𝑓0/𝑄. 这提供了一个快速测量𝑄 作为时间的函数。
图3。Q信号作为调制频率的函数。数据为蓝色，模型为橙色。
结论
我们已经看到PDH方法如何改进量子技术的材料测量，并产生其他方法无法获得的结果。PDH可以用于敏感材料研究所需的全功率范围。苏黎世仪器公司的锁定放大器执行关键功能，使PDH设置快速简便。
References
[1] T. Lindström; J. Burnett; M. Oxborrow; A Ya. Tzalenchuk, “Pound-locking for characterization of superconducting microresonators,” Rev Sci Instrum 82, 104706 (2011).
[2] C.R.H. McRae, H. Wang, J. Gao, M.R. Vissers, T. Brecht, A. Dunsworth, D.P. Pappas, and J. Mutus, “Materials loss measurements using superconducting microwave resonators,” Rev Sci Instrum 91, 091101 (2020).
[3] John Pitten, Jim Phillips, Brandon Boiko, Josh Mutus, and Corey Rae McRae, “Rapid characterization of superconducting microwave resonators using the Pound-Drever-Hall technique,” APS March Meeting 2023.
